经济物理学的建模方法则是沿袭物理学范式，从实际数据出发★★★，试图在繁杂的企业数据中寻找出有意思的模式。由于企业数据微观上具有很强的异质性★★★，这类模式通常都是在宏观上发现的，如以幂律现象为典型代表的有趣的分布的发现，企业股价时序波动的自相似性等等★★。上世纪90年代以来对经济系统数据的采集和整理也是这一方法得以发展的基础。发现宏观模式之后，进一步尝试在微观上进行建模，试图发现背后的机制。以至进一步提出或者发展相关的经济学理论，从而对现实世界提供指导，完成从现实到现实的闭环。本文介绍的企业颗粒模型就是符合这一研究范式的一个典型例子★★。

　　用数学的语言来描述，模型的基本设置就是★★，市场中有 N 个企业★。假设每个足够大的公司都由特定数量的子单元（即产品）组成，每个子单元都在不同的独立子市场中发挥作用★★★。t 时刻企业 i 的规模Sit满足子单元的累加，即

　　本文的另一个目的是以颗粒模型为例，介绍经济物理学模型的研究方式★，及其为解决和理解经济系统问题带来的意义★★★。经济系统的复杂性是所有人的共识★★，很多经济物理学模型背后的思想天然带着★★“从微观机制中复现出宏观上有趣的现象”，而且和传统经济学模型相比，更强调从实际数据出发★，并在数学模型世界绕一圈后，最后回到现实世界★。除了颗粒模型之外，还有许多物理模型和视角可以为发现经济规律★、发展经济学理论★★，甚至解释现实世界提供有趣的洞见。我们留给下次再叙。

　　“颗粒效应”（Granularity Effect）最早来自于物理学和材料学，通常用来描述由大量离散的小颗粒组成的系统的行为。后来经济学和金融学也它用来描述组成经济系统和金融系统的小组分，如经济主体或者不同的资产组成的行为★★★。颗粒模型在企业建模中的应用，成功解释了一些企业生长的宏观行为★，如可以解释生长率的极端波动现象等。

　　然而★★，由于经济系统和物理系统相比具有更高的复杂性★★，乍看之下似乎因为种种近似★★★，这类建模和现实世界相差甚远而难以真正解决现实世界的问题★。同时又因为和主流经济学范式完全不同★，关注的问题看起来也不同，所以看上去这似乎是物理学家★★“杀入”经济学领域的一场集体自嗨。黄吉平老师在其著作《经济物理学》中评论：“对人类社会（如经济市场）的研究也仅仅是物理学家满足自身好奇的一个崭新场所”。

　　本文目的是希望介绍颗粒模型在企业生长话题下的应用现状，并没有涉及到过多的数学细节，Revisiting Granular Models of Firm Growth 这篇文章恰好集过去核心的几个模型之大成★★★，用一个统一的框架将这几个颗粒模型都涵盖了进来，笔者则沿用这一框架对企业生长的定量模型这一话题进行了梳理。颗粒模型将企业生长描述为其子单元的随机动力学★★★，其经济含义本质上是在描述市场的随机冲击对企业生长的影响。这一微观机制其实并不仅可以用来描述企业的生长和波动★★，比如 Gabaix 还将其应用于宏观经济★★，尝试解释宏观 GDP 波动的微观机制[5]，也有研究将其用于建模企业收入变化的动力学[6]★★★。

　　另一方面★★★，可以从这一模型描述的宏观分布来验证。根据这一随机生长过程可以推导出，企业生长率的分布会服从对数正态分布。而 Stanley 指出企业的生长分布是一个帐篷型（tend-shape）的分布★★，具体来说是一个中心服从拉普拉斯、尾部服从幂律的分布形状，相比于对数正态分布，这是一个更加厚尾的分布★★。总之，吉布莱特定律现如今基本上被认为是不正确的★★，更多时候仅是作为一个基准的参照模型★★★。Stanley 团队的发现引起了部分经济学家的重视，后续有一系列系统性对企业生长率分布进行精确估计的尝试。总体来说★★★，对企业生长率分布的统计研究，修正了一直以来经济学对于企业随机生长的假设，也使得大家开始重视生长率分布的厚尾现象 [2]。

　　颗粒模型（Granular Models）就是解释企业宏观规律的一类尝试。这一名字的含义有两层，第一层含义是，这一类模型的基本思想是将企业划分为多个基本“粒子”，这些“粒子”遵循一些基本且简单的生长规律★★，那么企业规模的生长就可以看做这些基本粒子按照一定的规则变化尺寸以及变化数量的过程。这一思路用于建模复杂系统的宏观分布其实已经有相当多的讨论，而 Fu 团队则系统地将这一方法论应用于企业系统[3]，并进一步由经济学家 Gabaix 赋予更多的经济意义[4]。

　　图1. 左图是企业生长率分布；右图是企业生长率波动和企业规模的幂律递减关系

　　拥有的产品品类多★，但企业规模的变化主要依赖少量核心产品★★★。这类公司的体量可能不小。

　　图2. 左图是生长率的波动，不同的曲线代表对企业规模取不同的 bin 值计算得到的生长波动★；右图是按照平均规模 rescale 之后的结果。具体的数学操作请参考原文，这里不再对此展开★★。

　　与之对应，后续对模型正确性的验证也有两个方面：一是检验它的前提假设是否正确★，即企业的生长率和规模是否相关★★★。存在大量的计量经济学文献讨论了这一问题。在技术上这仅仅是一个回归问题★，但实际上由于企业数据的异质性，根据不同地区、不同国家★★★、不同行业等特征划分之后★★★，这一问题并没有一个普适性的结论。比如中国市场相比于美国市场，就更符合这一模型★★★。目前为止一个相对普遍的共识是，小企业的增速相比于大企业来说会更快，即企业生长率和规模是负相关的。

　　其实，经济学和物理学的缘分交织已久★，物理学作为走在科学性最前沿的学科，对包括经济学在内的很多学科都产生了深远的影响。经济学的期权定价公式就启发于物理学中著名的布朗运动★，而对经济系统幂律行为的关注★★，也启发经济学的相关模型需要进行重要的纠偏★★。被称为复杂科学发源地的圣塔菲研究所，在创办初期的第一场研讨会就是聚集了一帮经济学家和物理学家来神仙打架。现在看来，经济物理学更像是给经济学封闭的数学王国接入了一道链接现实世界的连边，虽然还不够完美，但至少引入了真实世界★。所以，笔者更愿意相信★★，两个世界依然存在对话的可能性。本文限于篇幅无法展开更多关于经济物理学的介绍，在这里仅做一个引子★★★，感兴趣的读者可以阅读王有贵老师的文章《经济研究中的物理学》和黄吉平老师的著作《经济物理学》进一步深入了解相关内容。

　　近期★★，来自牛津大学、维也纳复杂科学中心、EconophysiX lab 等机构的学者 José Moran★★★、Angelo Secchi 和 Jean-Philippe Bouchaud 共同发表了一篇名为“重访企业生长的颗粒模型”（Revisiting Granular Models of Firm Growth）的文章。本文希望通过解读这项最新研究的机会，梳理企业生长这一话题下定量模型发展的脉络★★，并以颗粒模型为例，介绍经济物理类方法的研究范式。

　　基于这样新的认识，作者经过数学推导发现★★★：企业生长率的分布更接近于这三类不同的企业共存的结果★。尤其企业内部产品数量异质性大的一类企业，即企业规模较大，但只依赖少量产品的企业，其生长的波动更容易出现极端情况，这也符合我们的经验★★★：产品线同质的企业，面对环境冲击的时候会更加脆弱★★★。所以在宏观上，这类企业会对生长率分布产生显著的影响★★。至此★，颗粒模型的第二层含义也显现出来：系统内的局部小组分，在特定情况下会对系统层面的宏观行为产生非常强烈的影响。

　　经济物理学（Econophysics）是上世纪90年代开始兴起的一类方法，由物理学家 Eugene Stanley 等学者领衔★★★，将一系列物理领域的分析方法引入经济学，“经济物理学”这一名词也随着越来越多科学家的加入逐渐兴起。和传统经济学宏观上关注经济增量等宏观变化★★★、微观上关注市场供需和投入产出等问题相比★，经济物理学更关心从数据中挖掘经济系统的普适性规律★★，诸如企业★、金融等各类经济系统的规模分布是什么，增长率的分布是什么，尤其90年代在各类经济系统中发现的诸多幂律现象★，更是吸引了物理学家的好奇心，以至于各种物理模型在经济系统中的应用层出不穷。

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　　在企业背景下的颗粒模型中，不同粒子可以看做是企业推出的产品★★，企业生长可以看做是一家企业在不断生产已有产品（粒子尺寸的变化），以及不断生产不同产品（粒子数量变化）的复合过程★★★。在 Revisiting Granular Models of Firm Growth[1] 这篇文章中★，作者系统回顾了不同颗粒模型的建模★，包括 Fu[3]，Gabaix[4]，Schwarzkopf[5] 等模型★★★，并用一个统一的框架总结了这些不同模型的本质区别。

　　企业的生长动力学在微观上依赖诸多因素★★，无论是经济学还是管理学★，对于★★★“企业生长由什么驱动★”这一问题的理解发展出了大量理论。近现代的科学范式要求我们对问题的理解不能仅仅只停留在理论，而需要经过系统性地实证检验★。然而，在对理论进行实证验证的阶段，案例研究由于样本量很小往往无法做出更普适的推广；基于大样本的方法，如从时间序列中找出关键因素的数学计量类方法，也由于企业生长过程中各种因素之间错综复杂的关系，具有很强的局限性。

　　据此推导出的企业生长率★★，也可以近似为比例增长★，但生长率的分布是一个方差随规模幂律递减的分布，幂指数在0.5左右★。这与从数据中观测到的现象吻合了一部分，模型复现了生长波动随规模递减的现象★。不过也存在不吻合的部分★，生长率依然是一个正态分布★★★，并没有完全复现出生长率的厚尾分布现象★，而且，模型预测的幂指数比实际要大得多★，即模型始终低估了现实世界的生长波动。

　　上述模型的描述是不同工作共享的设置★，作者指出，几个模型的不同之处★★★，关键在于引入了更多不同类型的异质性★★★，这种异质性主要有两类★★：一类是引入整个市场产品数量的异质性★★，即假设市场中产品数量sij的分布是幂律的★★，即市场份额仅由少数产品占据★，大量产品其实只占有非常少量的市场份额。另外一类异质性，是指一家企业内拥有的产品种类分布的异质性，即产品种类数量在不同企业的分布Ki是幂律的★★★。

　　根据这些新的实证发现，自然而然我们可以进一步追问的问题是，为什么会出现这样的现象？是什么样的市场机制导致了极端生长波动的出现？

　　其中Ki代表企业 i 内子单元的数量，sijk是第 j 个子单元的规模大小。

　　生长率厚尾分布意味着生长波动的极端值比我们预期的还要大★，即存在一些大起大落的公司★★★。同时★★，从实证数据中还可以发现，生长率分布的宽度★，即生长率的波动（方差大小），是随着规模幂律递减的★★★，幂指数大约是0★★★.15左右。这意味着尽管生长率极端值比我们预期的要更大，但大企业的生长率波动是相对较小的。

　　这一公式和前文提到的吉布莱特定律的形式是一致的，也就是说★，模型将等比例增长的机制设置放在了产品的层级。其经济含义是一家公司能够成功推出的产品数量与它已经商业化的产品数量成正比。

　　这两种异质性引入之后，就可以模拟更加复杂的现实情况。它可以将企业按照产品经营多样性分成两种类型★★★：

　　其实关于企业生长的动力学，早在1937年，经济学中就有了相关的定量模型。经济学家吉布莱特提出的吉布莱特定律（Gibrats law），基于企业等比例生长的假设，提出了一个最朴素的基准建模。具体来说是，假设企业无论规模大小，其生长率都是一个独立同分布的随机变量ϵ★★，即St+1-St= Stϵ★★★，这一动力学展示了企业规模越大★★★，可能遭受的波动也会越强这一现象★★★，也被称为比例增长模型（Law of Proportionate Effect）。这个模型描述虽然非常简单，但时至今日依然具有重要的地位。不过可能由于经济学家们“理论优先”的一贯风格★★，以及当时数据方面存在的局限性★★★，模型无论是假设还是结论★★★，都没有经过真实数据的检验★★。

　　而作者团队也据此提出了一个新的理论见解★，认为企业的多样性是企业生长统计表现的关键因素之一。也就是说，企业生长的波动不仅由企业规模驱动★，还与企业内部产品结构和丰富度有关★★★。启发于这一想法，作者还发现了关于生长率波动的新的统计事实：当基于规模平均对生长率波动进行调整之后，生长率的波动分布就是规模无关的了★★。这也是本文另一个重要的实证贡献。笔者认为★★★，如果作者团队能在提出自己的理论见解后，可以和已有的相关经济学理论进行更多的对话，这将会是一篇更精彩的工作★。

　　我们再回到这篇文章的主题“企业生长”这一话题。企业生长和经济增长直接相关，是经济增长的重要组成部分★★。在宏观经济学中描述经济增长的基本模型中★，企业也是作为生产活动的重要经济主体。企业作为最小的经济活动单元★★★，是经济系统不可或缺的组成部分。另外★★★，对企业生长的建模对理解微观企业的活动也具有重要的指导意义★，能在普适性上帮助我们理解企业生长的规律，进而理解更高尺度经济体，如行业★、国家的增长★★★。

　　作者也指出目前的颗粒模型有其局限性，其实依旧无法完美揭示生长率的分布以及生长率波动的实证规律，尤其对于生长率波动尾部的部分，当前的模型对于高波动生长率的预测概率过高。作者给出的可能解释是，企业产品层级面临的冲击，可能随着企业规模的增加，由于企业竞争或者供应链的影响★★★，不再满足独立性★★★。而这一点其实可以通过检验生长率自相关性和企业规模之间的关系进行验证。不过本文并未对这一问题进一步展开讨论★★★，这也是这一领域后续可以进一步探索的方向★★★。

　　黄吉平★★. 经济物理学: 用物理学的方法或思想探讨一些经济或金融问题[M]. 高等教育出版社, 2013.

　　经济系统相比于物理系统具有更高的复杂性★，那么适用于自然界的物理学的方法和思想，可以推广用于研究人类社会吗？一个叫做“经济物理学★★★”的领域试图回答这一问题★★★。经济物理学致力于从数据中挖掘经济系统的普适性规律。以企业为例，作为最小的经济活动单元，如何从繁杂的企业数据中洞察企业生长的规律？为什么小企业的增长速度通常比大企业更快★？面对市场冲击，规模越大的公司遭受的波动更强吗？为什么一些企业的发展大起大落？企业生长的颗粒模型尝试从企业内部产品结构和丰富度角度建立模型★★★，把握企业生长的深层规律。本文以企业生长的颗粒模型为例，介绍经济物理类方法的研究范式★★。